Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda)
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x)
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c Diaforikèc exis seic qwrizomènwn metablht n y = f (x) g(y)
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c Diaforikèc exis seic qwrizomènwn metablht n y = f (x) g(y) LÔsh: g(y)dy = f (x)dx + c
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c Diaforikèc exis seic qwrizomènwn metablht n y = f (x) g(y) LÔsh: g(y)dy = f (x)dx + c Grammikèc diaforikèc exis seic pr thc tˆxhc y + p(x)y = q(x)
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c Diaforikèc exis seic qwrizomènwn metablht n y = f (x) g(y) LÔsh: g(y)dy = f (x)dx + c Grammikèc diaforikèc exis seic pr thc tˆxhc y + p(x)y = q(x) LÔsh: y(x) = e ( p(x) dx c + q(x)e ) p(x)dx
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c Diaforikèc exis seic qwrizomènwn metablht n y = f (x) g(y) LÔsh: g(y)dy = f (x)dx + c Grammikèc diaforikèc exis seic pr thc tˆxhc y + p(x)y = q(x) LÔsh: y(x) = e ( p(x) dx c + q(x)e ) p(x)dx Diaforikèc exis seic Bernoulli y + p(x)y = q(x)y n, n 0, 1
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c Diaforikèc exis seic qwrizomènwn metablht n y = f (x) g(y) LÔsh: g(y)dy = f (x)dx + c Grammikèc diaforikèc exis seic pr thc tˆxhc y + p(x)y = q(x) LÔsh: y(x) = e ( p(x) dx c + q(x)e ) p(x)dx Diaforikèc exis seic Bernoulli y + p(x)y = q(x)y n, n 0, 1 LÔsh: Jètoume z = y 1 n opìte èqoume z + (1 n)p(x)z = (1 n)q(x)
Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) LÔsh: y(x) = f (x) + c Diaforikèc exis seic qwrizomènwn metablht n y = f (x) g(y) LÔsh: g(y)dy = f (x)dx + c Grammikèc diaforikèc exis seic pr thc tˆxhc y + p(x)y = q(x) LÔsh: y(x) = e ( p(x) dx c + q(x)e ) p(x)dx Diaforikèc exis seic Bernoulli y + p(x)y = q(x)y n, n 0, 1 LÔsh: Jètoume z = y 1 n opìte èqoume z + (1 n)p(x)z = (1 n)q(x) OmogeneÐc diaforikèc exis seic Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc
OmogeneÐc diaforikèc exis seic Orismìc Mia sunˆrthsh F (x, y) onomˆzetai omogen c bajmoô k an isqôei h sqèsh F (tx, ty) = t k F (x, y)
OmogeneÐc diaforikèc exis seic Orismìc Mia sunˆrthsh F (x, y) onomˆzetai omogen c bajmoô k an isqôei h sqèsh F (tx, ty) = t k F (x, y)
OmogeneÐc diaforikèc exis seic Orismìc Mia sunˆrthsh F (x, y) onomˆzetai omogen c bajmoô k an isqôei h sqèsh F (tx, ty) = t k F (x, y) Parˆdeigma F (x, y) = x 4 + x 2 y 2 + y 3 x EÐnai h parapˆnw sunˆrthsh omogen c? An nai, ti bajmoô?
OmogeneÐc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai omogen c an eðnai thc morf c y = F (x, y) G(x, y) kai oi sunart seic F (x, y) kai G(x, y) eðnai omogeneðc Ðdiou bajmoô.
OmogeneÐc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai omogen c an eðnai thc morf c y = F (x, y) G(x, y) kai oi sunart seic F (x, y) kai G(x, y) eðnai omogeneðc Ðdiou bajmoô.
OmogeneÐc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai omogen c an eðnai thc morf c y = F (x, y) G(x, y) kai oi sunart seic F (x, y) kai G(x, y) eðnai omogeneðc Ðdiou bajmoô. Oi omogeneðc diaforikèc exis seic pr thc tˆxhc lônontai an jèsoume z = y/x opìte odhgoômaste se diaforik exðswsh qwrizomènwn metablht n.
OmogeneÐc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai omogen c an eðnai thc morf c y = F (x, y) G(x, y) kai oi sunart seic F (x, y) kai G(x, y) eðnai omogeneðc Ðdiou bajmoô. Oi omogeneðc diaforikèc exis seic pr thc tˆxhc lônontai an jèsoume z = y/x opìte odhgoômaste se diaforik exðswsh qwrizomènwn metablht n. Parˆdeigma Na lujeð h diaforik exðswsh xy = y + 2xe y/x
Grammikèc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai grammik an eðnai thc morf c b n (x)y (n) + b n 1 (x)y (n 1) +... b 0 (x)y = g(x).
Grammikèc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai grammik an eðnai thc morf c b n (x)y (n) + b n 1 (x)y (n 1) +... b 0 (x)y = g(x).
Grammikèc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai grammik an eðnai thc morf c b n (x)y (n) + b n 1 (x)y (n 1) +... b 0 (x)y = g(x). An g(x) = 0 tìte h diaforik exðswsh onomˆzetai omogen c, diaforetikˆ onomˆzetai mh omogen c.
Grammikèc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai grammik an eðnai thc morf c b n (x)y (n) + b n 1 (x)y (n 1) +... b 0 (x)y = g(x). An g(x) = 0 tìte h diaforik exðswsh onomˆzetai omogen c, diaforetikˆ onomˆzetai mh omogen c. Mia grammik diaforik exðswsh lème ìti èqei stajeroôc suntelestèc ìtan ìloi oi suntelestèc b j (x), j = 0,..., n eðnai stajerèc.
Grammikèc diaforikèc exis seic Orismìc MÐa diaforik exðswsh ja lègetai grammik an eðnai thc morf c b n (x)y (n) + b n 1 (x)y (n 1) +... b 0 (x)y = g(x). An g(x) = 0 tìte h diaforik exðswsh onomˆzetai omogen c, diaforetikˆ onomˆzetai mh omogen c. Mia grammik diaforik exðswsh lème ìti èqei stajeroôc suntelestèc ìtan ìloi oi suntelestèc b j (x), j = 0,..., n eðnai stajerèc. An ènac perissìteroi suntelestèc den eðnai stajerèc tìte lème ìti h parapˆnw exðswsh èqei metablhtoôc suntelestèc.
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc y + a 1 y + a 0 = 0
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc y + a 1 y + a 0 = 0 H algebrik exðswsh h opoða prokôptei apì thn parapˆnw diaforik exðswsh eðnai λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0 H exðswsh aut onomˆzetai qarakthristik exðswsh thc diaforik c exðswshc.
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc An h qarakthristik exðswsh thc diaforik c exðswshc èqei dôo pragmatikèc rðzec λ 1 kai λ 2 tìte h lôsh thc DE eðnai y = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc An h qarakthristik exðswsh thc diaforik c exðswshc èqei dôo pragmatikèc rðzec λ 1 kai λ 2 tìte h lôsh thc DE eðnai y = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x mða dipl rðza λ ìte h lôsh thc DE eðnai y = c 1 e λx + c 2 xe λx
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc An h qarakthristik exðswsh thc diaforik c exðswshc èqei dôo pragmatikèc rðzec λ 1 kai λ 2 tìte h lôsh thc DE eðnai y = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x mða dipl rðza λ ìte h lôsh thc DE eðnai y = c 1 e λx + c 2 xe λx dôo migadikèc rðzec λ 1 = a + bi kai λ 2 = a bi tìte h lôsh thc DE eðnai y = d 1 e λ 1x + d 2 e λ 2x = d 1 e (a+bi)x + d 2 e (a bi)x
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc An h qarakthristik exðswsh thc diaforik c exðswshc èqei dôo pragmatikèc rðzec λ 1 kai λ 2 tìte h lôsh thc DE eðnai y = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x mða dipl rðza λ ìte h lôsh thc DE eðnai y = c 1 e λx + c 2 xe λx dôo migadikèc rðzec λ 1 = a + bi kai λ 2 = a bi tìte h lôsh thc DE eðnai y = d 1 e λ 1x + d 2 e λ 2x = d 1 e (a+bi)x + d 2 e (a bi)x = c 1 e ax cos bx + c 2 e ax sin bx
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc - ParadeÐgmata Na lujoôn oi parakˆtw diaforikèc exis seic y y 2y = 0
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc - ParadeÐgmata Na lujoôn oi parakˆtw diaforikèc exis seic y y 2y = 0 y 7y = 0
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc - ParadeÐgmata Na lujoôn oi parakˆtw diaforikèc exis seic y y 2y = 0 y 7y = 0 y 5y = 0
OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc tˆxhc me stajeroôc suntelestèc - ParadeÐgmata Na lujoôn oi parakˆtw diaforikèc exis seic y y 2y = 0 y 7y = 0 y 5y = 0 y 6y + 25y = 0
Efarmog 1 Εστω μια δεξαμενή που περιέχει V o λίτρα άλμης με a κιλά αλατιού. Ενα δεύτερο διάλυμα με περιεκτικότητα σε αλάτι b kg/lt εισέρχεται στη δεξαμενή με ρυθμό e lt/min. Ταυτόχρονα το καλά αναμειγμένο διάλυμα εκρέει από τη δεξαμενή με ρυθμό f lt/min. Ποια είναι η ποσότητα αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t;
Efarmog 1 Εστω μια δεξαμενή που περιέχει V o λίτρα άλμης με a κιλά αλατιού. Ενα δεύτερο διάλυμα με περιεκτικότητα σε αλάτι b kg/lt εισέρχεται στη δεξαμενή με ρυθμό e lt/min. Ταυτόχρονα το καλά αναμειγμένο διάλυμα εκρέει από τη δεξαμενή με ρυθμό f lt/min. Ποια είναι η ποσότητα αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t; Q(t) η ποσότητα σε κιλά αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t dq dt ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας αλατιού (ισούται με το ρυθμό προσθήκης αλατιού στη δεξαμενή μείον το ρυθμό αφαίρεσης αλατιού από αυτή)
Efarmog 1 Εστω μια δεξαμενή που περιέχει V o λίτρα άλμης με a κιλά αλατιού. Ενα δεύτερο διάλυμα με περιεκτικότητα σε αλάτι b kg/lt εισέρχεται στη δεξαμενή με ρυθμό e lt/min. Ταυτόχρονα το καλά αναμειγμένο διάλυμα εκρέει από τη δεξαμενή με ρυθμό f lt/min. Ποια είναι η ποσότητα αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t; Q(t) η ποσότητα σε κιλά αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t dq dt ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας αλατιού (ισούται με το ρυθμό προσθήκης αλατιού στη δεξαμενή μείον το ρυθμό αφαίρεσης αλατιού από αυτή) be kg/min ρυθμός προσθήκης αλατιού V 0 + et ft όγκος άλμης στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t Q(t)/(V 0 + et ft) η περιεκτικότητα αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t
Efarmog 1 Εστω μια δεξαμενή που περιέχει V o λίτρα άλμης με a κιλά αλατιού. Ενα δεύτερο διάλυμα με περιεκτικότητα σε αλάτι b kg/lt εισέρχεται στη δεξαμενή με ρυθμό e lt/min. Ταυτόχρονα το καλά αναμειγμένο διάλυμα εκρέει από τη δεξαμενή με ρυθμό f lt/min. Ποια είναι η ποσότητα αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t; Q(t) η ποσότητα σε κιλά αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t dq dt ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας αλατιού (ισούται με το ρυθμό προσθήκης αλατιού στη δεξαμενή μείον το ρυθμό αφαίρεσης αλατιού από αυτή) be kg/min ρυθμός προσθήκης αλατιού V 0 + et ft όγκος άλμης στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t Q(t)/(V 0 + et ft) η περιεκτικότητα αλατιού στη δεξαμενή τη χρονική στιγμή t f (Q(t)/(V 0 + et ft)) ο ρυθμός με τον οποίο εγκαταλείπει τη δεξαμενή το αλάτι
Efarmog 1 Συνεπώς ( ) dq dt = be f Q V 0 + et ft
Efarmog 1 Συνεπώς ( dq dt = be f Q V 0 + et ft ( ) dq dt + f Q V 0 + et ft ) = be
Efarmog 1 Συνεπώς ( dq dt = be f Q V 0 + et ft ( ) dq dt + f Q V 0 + et ft ) = be Μια δεξαμενή περιέχει αρχικά 100lt διαλύματος άλμης με 20 kg αλάτι. Τη χρονική στιγμή t = 0 εισρέει από τη δεξαμενή καθαρό νερό με ρυθμό 5 lt/min. Το καλά αναμεμιγμένο διάλυμα εκρέει από τη δεξαμενή με τον ίδιο ρυθμό. Βρείτε την ποσότητα αλατιού τη χρονική στιγμή t.
Efarmog 2 Orismènoi biologikoð plhjusmoð auxˆnontai sômfwna me thn exðswsh tou Gompertz dy dt = Ky ln y ìpou k > 0 stajerˆ. Na brejeð h genik lôsh thc parapˆnw diaforik c exðswshc.
Efarmog 3 Se kˆpoia eðdh qhmik n antidrˆsewn pou onomˆzontai qhmikèc antidrˆseic deôter c tˆxhc, dôo ousðec antidroôn metaxô touc kai dðnoun mia trðth ousða. Upojètoume arqikˆ ìti h sugkèntrwsh thc pr thc ousðac eðnai α (sun jwc dðnete se moles/lt) kai thc deôterhc ousðac eðnai β. An metˆ apo qrìno t sec x moles apì thn pr th kai th deôterh ousða èqoun diaspasteð, tìte èqoun apomeðnei α x apì thn pr th ousða kai β x apì th deôterh kai èqoun sqhmatisteð x apì thn trðth. Gia mða qhmik antðdrash aut c thc morf c, o rujmìc metabol c tou x eðnai anˆlogoc proc to α x kai to β x, èqoume dhlad dx = K(α x)(β x) dt ìpou K stajerˆ. Gia th qhmik antðdrash pou perigrˆyame parapˆnw na breðte th sugkèntrwsh x(t) thc trðthc ousðac metˆ apì qrìno t.